Ciepło Funkcje Greena Równania Laplace'a

Funkcja Greena dla równania ciepła

W module "Równanie Poissona" rozwiązanie równania Poissona wyraziliśmy w postaci całki z iloczynu rozwiązania podstawowego równania Laplace'a przez prawą stronę równania Poissona, a rozwiązanie problemu początkowego dla równania ciepła jako całkę z iloczynu rozwiązania podstawowego równania ciepła przez funkcje określającą rozkład początkowy temperatury. Innymi słowami, rozwiązanie rozważanego problemu wyraziliśmy za pomocą rozwiązania podstawowego oraz prawej strony równania lub warunków początkowych.
W niniejszym module rozwiniemy te idee, wykorzystując w miejsce rozwiązania podstawowego, tzw. funkcje Greena. Trudność tej metody wynika z faktu, że dla każdego typu problemu należy indywidualnie wyznaczyć funkcje Greena. Natomiast korzyść polega na tym, że po znalezieniu funkcji Greena otrzymamy formułę, która podaje wartości rozwiązania w zależności od zadanych wartości początkowych czy brzegowych.

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie zadanym obszarem o gładkim brzegu. Rozważmy problem:

(1)

\( \Delta u+f=0\qquad {\rm w} \quad \Omega, \)

(2)

\( u=g \qquad {\rm na}\quad \partial \Omega, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami odpowiednio na zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem tego problemu. Niech \( \hskip 0.3pc \Phi\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a, danym wzorem

\( \Phi (x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{2\pi} \ln \|x\|,& {\rm dla}\hskip 0.5pc n=2;\\ \dfrac {1}{n(n-2) \alpha (n)}\dfrac{1}{\|x\|^{n-2}}, & {\rm dla} \hskip 0.5pc n\geq 3.\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha (n) \hskip 0.3pc \) oznacza objętość kuli jednostkowej w \( \hskip 0.3pc\mathbb R^n. \hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc x\in \Omega\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) będzie tak dobraną liczbą, aby \( \hskip 0.3pc B(x, \varepsilon )\subset \Omega.\hskip 0.3pc \) Połóżmy \( \hskip 0.3pc \Omega_{\epsilon}= \Omega \setminus \overline B(x,\varepsilon).\hskip 0.3pc \) Stosując wzór 7 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" na zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega_{\varepsilon}\hskip 0.3pc \) do funkcji \( \hskip 0.3pc y \mapsto u(y)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y \mapsto \Phi (y-x)\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \displaystyle\int_{\Omega_{\varepsilon}}\Big(u(y)\Delta\Phi(y-x)- \Phi(y-x)\Delta u(y)\Big)dy=\displaystyle \int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}\Big(u(y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x)- \Phi(y-x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu} (y)\Big)dS, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) oznacza punkt bieżący, symbol \( \hskip 0.3pc \Delta\hskip 0.3pc \) - laplasjan względem zmiennej \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) \( dS\hskip 0.3pc \) - element powierzchniowy względem zmiennej \( \hskip 0.3pc y,\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) - unormowany wektor normalny do powierzchni \( \hskip 0.3pc \partial \Omega_{\varepsilon}.\hskip 0.3pc \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \Delta\Phi(y-x)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc y \in \Omega_ {\varepsilon},\hskip 0.3pc \) ostatni wzór możemy zapisać w postaci

(3)

\( \begin{aligned}-\displaystyle\int_{\Omega_{\varepsilon}}\Phi(y-x)\Delta u(y))dy\,&=\displaystyle\int_{\partial \Omega} \Big(u(y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x)- \Phi(y-x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu} (y)\Big) +\\&+\displaystyle\int_{\partial B(x,\varepsilon)}u(y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x)dS- \displaystyle\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\Phi(y-x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu} (y)dS.\end{aligned} \)

Zauważmy, że wektor normalny do powierzchni \( \hskip 0.3pc \partial \Omega_{\epsilon }\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc y\in \partial B(x,\varepsilon)\hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

\( \nu=-\dfrac{y-x}{\|y-x\|}= -\dfrac{y-x}{\varepsilon}. \)

Rozważmy przypadek \( \hskip 0.3pc n\geq 3\hskip 0.3pc \) (analogiczny rachunek dla \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \) pozostawiamy Czytelnikowi). Różniczkując funkcje \( \hskip 0.3pc \Phi (y-x)\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc y\in \partial B(x,\varepsilon)\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x)= \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \Phi (y-x)}{\partial y_i}\,\big(- \dfrac{y_i-x_i}{\varepsilon}\big) = \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac {(y_i-x_i)^2}{n\alpha (n)\|y-x\|^{n}\varepsilon}=\dfrac 1{n\alpha (n)\varepsilon^{n-1}}. \)

Korzystając z ostatniej równości a następnie z faktu, że wartość \( \hskip 0.3pc n\alpha (n)\varepsilon^{n-1}\hskip 0.3pc \) jest równa powierzchni sfery \( \hskip 0.3pc \partial B(x,\varepsilon )\hskip 0.3pc \) oraz z własności wartości średniej, otrzymamy

\( \displaystyle\int_{\partial B(x,\varepsilon)}u(y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x)dS= \dfrac 1{n\alpha (n) \varepsilon^{n-1}}\displaystyle\int_{\partial B(x,\varepsilon)} u(y)dS=u(x). \)

Nietrudno też sprawdzić, że

\( \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\partial B(x,\varepsilon)}\Phi (y-x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu} (y)dS=0 \)

oraz

\( \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\displaystyle\int_{\Omega_{\varepsilon}}\Phi (y-x)\Delta u(y)dy= \displaystyle\int_{\Omega}\Phi (y-x)\Delta u(y)dy. \)

W konsekwencji, przechodząc z \( \hskip 0.3pc \varepsilon\hskip 0.3pc \) do zera we wzorze ( 3 ) otrzymamy

(4)

\( u(x)=\displaystyle\int_{\partial \Omega}\Big(\Phi(y-x)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(y) -u(y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial \nu}(y-x) \Big)dS - \displaystyle\int_{ \Omega}\Phi(y-x)\Delta u(y)dy \)

Zauważmy, że wzór ( 4 ) pozwala wyznaczyć szukaną funkcje \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jeśli znamy wartości \( \hskip 0.3pc \Delta u\hskip 0.3pc \) na zbiorze \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) oraz wartości \( \hskip 0.3pc u\hskip0.3pc \)
i \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc \) na brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \) Niestety, w rozważanym przypadku wartości pochodnej \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}\hskip 0.3pc \) na zbiorze \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) nie znamy. Wprowadzimy teraz pewną korektę tak, aby wyeliminować nieznaną wartość \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial u}{\partial \nu}.\hskip 0.3pc \) W tym celu rozważamy problem pomocniczy

(5)

\( \Delta \Psi =0\qquad {\rm w}\quad \Omega , \)

(6)

\( \Psi (y)=\Phi (y-x) \qquad {\rm dla}\quad y\in \partial \Omega . \)

Stosując ponownie wzór 7 z modułu "Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena" do funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu ( 1 ), ( 2 ), a \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem problemu pomocniczego ( 5 ), ( 6 ). Otrzymamy

(7)

\( -\displaystyle\int_{\Omega}\Psi(y)\Delta u(y)dy = \displaystyle\int_{\partial \Omega}\Big( u(y)\dfrac{\partial \Psi}{\partial \nu}(y) -\Psi(y)\dfrac{\partial u}{\partial \nu}(y) \Big)dS. \)

Połóżmy

\( G(x,y)=\Phi (y-x)-\Psi (y). \)

Tak zdefiniowaną funkcje \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) będziemy nazywać funkcją Greena dla problemu ( 1 ), ( 2 ). Sumując równości ( 4 ), ( 7 ) i uwzględniając zależność ( 6 ), dostajemy

\( u(x)= -\displaystyle\int_{\partial\Omega} u(y)\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)dS -\displaystyle\int_ {\Omega}G(x,y)\Delta u(y)dy. \)

Zauważmy, że po wyznaczeniu funkcji \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) wartości wszystkich funkcji występujących po prawej stronie ostatniego wzoru są znane, a szukane rozwiązanie możemy zapisać w postaci

(8)

\( u(x)= \displaystyle\int_{\Omega}f(y)G(x,y)dy-\displaystyle\int_{\partial\Omega} g(y)\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)dS . \)

Oczywiście w obu całkach zmienną całkowania jest \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \). Wzór ten określa rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) w zależności od zadanych funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \)
Warto podkreślić, że funkcja Greena jest określona dla operatora Laplace'a oraz zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) nie zależy natomiast od funkcji \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \)

Uwaga 1:

Zdefiniowana powyżej funkcja Greena \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) spełnia następujące warunki:

(i). Funkcja \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna względem \( \hskip 0.3pc y\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \setminus \{x\},\hskip 0.3pc \) jak również jest harmoniczna względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \setminus \{y\};\hskip 0.3pc \)

(ii). Jeśli \( \hskip 0.3pc x\in \partial\Omega\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc y\in \partial\Omega\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc G(x,y)=0,\hskip 0.3pc \) a jeśli zbiór \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) jest nieograniczony, to \( \hskip 0.3pc G(x,y)\to 0\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc \|x\|+\|y\|\to \infty.\hskip 0.3pc \)

Warto odnotować, że funkcje Greena można po prostu zdefiniować jako funkcje która spełnia warunki (i) i (ii). Tak więc warunki (i) i (ii) możemy uznać za kryterium funkcji Greena.

Przykład 1: Funkcja Greena dla półprzestrzeni.

Rozważmy problem:

(9)

\( \Delta u=0\qquad {\rm w} \quad \mathbb R^n_+, \)

(10)

\( u=g \qquad {\rm na}\quad \partial \mathbb R^n_+, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n_+=\big\{x=(x_1,\ldots ,x_n)\in \mathbb R^n\,:\,x_n>0\big\}.\hskip 0.3pc \)
Dla \( \hskip 0.3pc x\in \mathbb R^n_+\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc \tilde x= (x_1,\ldots ,x_{n-1},-x_n).\hskip 0.3pc \) (Punkt \( \hskip 0.3pc \tilde x\hskip 0.3pc \) jest odbiciem symetrycznym punktu \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) względem płaszczyzny \( \hskip 0.3pc x_n=0\hskip 0.3pc \)). Rozważmy funkcje \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) daną wzorem

\( \Psi (y)=\Phi (y-\tilde x) = \Phi (y_1-x_1, \ldots ,y_{n-1}-x_{n-1},y_n+x_n). \)

Zauważmy, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc x\in \mathbb R^n_+\hskip 0.3pc \) tak określona funkcja \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu:

\( \Delta \Psi =0\qquad {\rm w}\quad R_+^n, \)

\( \Psi (y)=\Phi (y-x) \qquad {\rm dla}\quad y\in \partial \mathbb R^n_+, \)

czyli problemu pomocniczego ( 5 ), ( 6 ) dla obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega =\mathbb R^n_+\hskip 0.3pc \). Zgodnie z powyższymi uwagami funkcja

\( G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi(y-\tilde x),\quad x,y \in R_+^n,\,\,x\neq y \)

jest funkcja Greena dla operatora Laplace'a oraz półprzestrzeni \( \hskip 0.3pc R_+^n\hskip 0.3pc \).
Ponieważ wektor normalny do \( \hskip 0.3pc \partial R_+^n,\hskip 0.3pc \) skierowany na zewnątrz, ma postać \( \hskip 0.3pc \nu =(0, \ldots,0,-1),\hskip 0.3pc \) zatem

\( \dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)= \Big(\dfrac{\partial \Phi}{\partial y_n}(y-x)-\dfrac{\partial \Phi}{\partial y_n}(y-\tilde x) \Big)(-1) =\dfrac 1{n\alpha (n)}\bigg[\dfrac {y_n-x_n}{\|y-x\|^n}-\dfrac {y_n+x_n}{\|y-\tilde x\|^n}\bigg]. \)

Jeśli \( \hskip 0.3pc y \in \partial R_+^n,\hskip 0.3pc \) wówczas \( \hskip 0.3pc y_n=0\hskip 0.3pc \) i w konsekwencji

\( \dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)= -\dfrac {2x_n}{n\alpha (n) \|y-x\|^n}. \)

Korzystając ze wzoru ( 8 ), rozwiązanie problemu ( 9 ), ( 10 ) możemy zapisać w postaci

\( u(x)= \dfrac{2x_n}{n\alpha (n)} \displaystyle\int_{\partial \mathbb R^n_+}\dfrac{g(y)}{\|y-x\|^n}dy. \)

Jeśli przyjmiemy

\( K(x,y)=\dfrac{2x_n}{n\alpha (n)\|y-x\|^n} \qquad {\rm dla}\quad x\in R_+^n,\,\,\,y \in \partial R_+^n \)

(11)

\( u(x)=\displaystyle\int_{\partial \mathbb R^n_+} K(x,y)g(y)dy. \)

Funkcje \( \hskip 0.3pc K\hskip 0.3pc \) nazywamy jądrem Poissona.

Przykład 2:

Wyznaczyć w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega = \{(x,y)\in R^2: \, y>0\}\hskip 0.3pc \) rozwiązanie równania Laplace'a

\( u_{xx}+u_{yy}=0 \)

spełniające warunek brzegowy

\( \displaystyle\lim\limits_{y\to 0}u(x,y)=g(x)=\begin{cases}c, & {\rm jeśli }\hskip 0.6pc |x|\leq a;\\0, & {\rm jeśli }\hskip 0.6pc |x|> a. \end{cases} \)

Zgodnie z przykładem 1 oraz wzorem na rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a funkcja Greena ma postać

\( G(x,y,\xi ,\eta )= -\dfrac 1{4\pi }\ln\dfrac{(\xi -x)^2+(\eta -y)^2}{(\xi -x)^2+(\eta +y)^2}, \)

a rozwiązanie, zgodnie z wzorem ( 11 ), postać

\( \begin{aligned}u(x,y)&=\dfrac y{2\pi }\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{g(\xi )}{(\xi -x)^2+y^2}d\xi = \dfrac c{2\pi} \displaystyle\int_{-a}^{a}\dfrac{y}{(\xi -x)^2+y^2}d\xi =\\&=\dfrac c{2\pi}\Big({\rm arctg}\dfrac{a-x}y +{\rm arctg}\dfrac{a+x}y\Big).\end{aligned} \)

Przykład 3: Funkcja Greena dla kuli.

Rozważmy problem

\( \Delta u=0\qquad {\rm w} \quad B(0,1), \)

\( u=g \qquad {\rm na}\quad \partial B(0,1). \)

Zgodnie z poprzednimi uwagami funkcja Greena ma postać

\( G(x,y)=\Phi (y-x)-\Psi (y), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \Psi\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu pomocniczego:

\( \Delta \Psi =0\qquad {\rm w}\quad B(0,1), \)

\( \Psi (y)=\Phi (y-x) \qquad {\rm dla}\quad y\in \partial B(0,1), \)

czyli problemu ( 5 ), ( 6 ) dla zbioru \( \hskip 0.3pc \Omega = B(0,1).\hskip 0.3pc \)
Dla \( \hskip 0.3pc x \in B(0,1)\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc \tilde x=x/\|x\|^2\hskip 0.3pc \) (punkt symetryczne do \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) względem sfery \( \hskip 0.3pc \|x\|=1.\hskip 0.3pc \))
Rozważmy funkcje

\( \widetilde{\Psi} (y)=\Phi \big(\|x\|(y-\tilde x)\big). \)

Oczywiście funkcja \( \hskip 0.3pc \widetilde{\Psi} \hskip 0.3pc \) jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc y\neq \tilde x.\hskip 0.3pc \)
Ponieważ dla \( \hskip 0.3pc y \in \partial B(0,1)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc x\neq 0\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}\|x\|^2\|y-\tilde x\|^2=&\|x\|^2\big\|y-\dfrac x{\|x\|^2}\big\|^2=\|x\|^2\Big(\|y\|^2-\dfrac {2x\cdot y}{\|x\|^2}+ \dfrac 1{\|x\|^2}\Big)=\\=&\|x\|^2\Big(1-\dfrac {2x\cdot y}{\|x\|^2}+ \dfrac 1{\|x\|^2}\Big)=\|x\|^2-2x\cdot y+1=\|x\|^2-2x\cdot y+\|y\|^2= \|y-x\|^2,\end{aligned} \)

a zatem

\( \|x\|\,\|y-\tilde x\|= \|y-x\| \)

i w konsekwencji

\( \widetilde{\Psi} (y)=\Phi (y-x),\qquad {\rm dla}\quad y\in\partial B(0,1). \)

Oznacza to, że tak zdefiniowana funkcja \( \hskip 0.3pc \widetilde{\Psi} \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu pomocniczego.
Funkcja Greena dla kuli jednostkowej ma zatem postać

\( G(x,y)=\Phi(y-x)-\Phi \big(\|x\|\,(y-\tilde x)\big),\qquad x,y \in B(0,1),\hskip 0.4pc x\neq y. \)

Zgodnie z wzorem ( 8 ) (gdzie \( \hskip 0.3pc f=0,\hskip 0.3pc \)) rozwiązanie naszego problemu możemy zapisać w postaci

\( u(x)= -\displaystyle\int_{\partial B(0,1)} g(y)\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y) dS. \)

Korzystając z faktu, że \( \hskip 0.3pc \nu =y/\|y\|=y\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc y\in \partial B(0,1)\hskip 0.3pc \) oraz wzorów:

\( \dfrac{\partial \Phi}{\partial y_i}(y-x)= -\dfrac 1{n\alpha (n)}\,\dfrac {y_i-x_i}{\|y-x\|^n}, \)

\( \dfrac{\partial \Phi}{\partial y_i}\big(\|x\|\,(y-\tilde x) \big)= -\dfrac 1{n\alpha (n)}\,\dfrac {y_i\|x\|^2-x_i}{\big(\|x\|\,\|y-\tilde x\|\big)^n}=-\dfrac 1{n\alpha (n)}\,\dfrac {y_i\|x\|^2-x_i}{\|y-x\|^n}, \)

otrzymamy

\( \begin{aligned}\dfrac{\partial G}{\partial \nu}(x,y)& = \nabla_yG(x,y)\cdot \nu (y)=\displaystyle\sum_{i=1} ^n y_i \dfrac{\partial G}{\partial y_i}(x,y)=\\&=-\dfrac 1{n\alpha (n)}\,\dfrac 1{\|y-x\|^n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\Big(y_i(y_i-x_i)-y_i^2\|x\|^2+x_iy_i\Big) =-\dfrac 1{n\alpha (n)}\dfrac{1-\|x\|^2}{\|y-x\|^2}.\end{aligned} \)

Ostatecznie więc wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego przyjmie postać

(12)

\( u(x)= \dfrac {1-\|x\|^2}{n\alpha (n)}\displaystyle\int_{\partial B(0,1)} \dfrac{g(y)}{\|y-x\|^n} dS(y). \)

Uwaga 2:

Rozwiązanie problemu Dirichleta dla kuli o promieniu \( \hskip 0.3pc r\hskip 0.3pc \) można zredukować do kuli o promieniu \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) stosując podstawienie \( \hskip 0.3pc y=r z.\hskip 0.3pc \) Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie Dirichleta w kuli \( \hskip 0.3pc B(0,r)\hskip 0.3pc \) ma postać

\( u(x)= \dfrac {r^2-\|x\|^2}{n\alpha (n)r}\displaystyle\int_{\partial B(0,r)} \dfrac{g(z)}{\|z-x\|^n} dS(z). \)

W szczególności, dla przypadku przestrzeni dwuwymiarowej rozwiązanie problemu Dirichleta w kuli \( \hskip 0.3pc B(0,r)\hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

\( u(x,y)=\dfrac{r^2-x^2-y^2}{2\pi r}\displaystyle\int_{\partial B(0,r)}\dfrac{g(\xi ,\eta )}{(\xi -x)^2+(\eta -y)^2}dS, \)

a po przejściu na współrzędne biegunowe wzorem

\( u(\rho ,\theta )=\dfrac 1{2\pi }\displaystyle\int_0^{2\pi }g(r\cos\phi ,r\sin \varphi )\dfrac{r^2-\rho ^2}{r^2-2r\cos (\phi -\theta )+\rho ^2}d\phi , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc (\rho ,\theta )\hskip 0.3pc \) oznaczają współrzędne biegunowe punktu \( \hskip 0.3pc (x,y),\hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc (r,\phi )\hskip 0.3pc \) współrzędne biegunowe punktu \( \hskip 0.3pc (\xi ,\eta ).\hskip 0.3pc \)

Zastosowana w powyższych przykładach metoda wyznaczania funkcji Greena nosi nazwę metody punktów symetrycznych.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka